• Funções de massa de probabilidade na prática
• Visualização de um PMF
• Propriedades de um PMF

A função de massa de probabilidade , frequentemente abreviado PMF O valor de , indica-nos a probabilidade de uma variável aleatória discreta assumir um determinado valor.

Por exemplo, suponhamos que lançamos um dado uma vez. Se deixarmos x denotar o número em que o dado cai, então a probabilidade de o x é igual a valores diferentes pode ser descrito da seguinte forma:

• P(X=1): 1/6
• P(X=2): 1/6
• P(X=3): 1/6
• P(X=4): 1/6
• P(X=5): 1/6
• P(X=6): 1/6

Existe a mesma probabilidade de os dados calharem em qualquer número entre 1 e 6.

Eis como escreveríamos estas probabilidades como uma função de massa de probabilidade:

O lado esquerdo do diagrama mostra a probabilidade associada aos resultados do lado direito:

Uma das características de uma função de massa de probabilidade é que todas as probabilidades têm de ser iguais a 1. Verá que esta PMF satisfaz essa condição:

Soma das probabilidades = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1.

O apoio de uma função de massa de probabilidade refere-se ao conjunto de valores que a variável aleatória discreta pode assumir. Neste exemplo, o suporte seria {1, 2, 3, 4, 5, 6} uma vez que o valor do dado pode assumir qualquer um destes valores.

Fora do suporte, o valor do PMF é igual a zero. Por exemplo, a probabilidade de o dado calhar no "0", no "7" ou no "8" é igual a zero, uma vez que nenhum destes números está incluído no suporte.

Funções de massa de probabilidade na prática

Os dois exemplos mais comuns de funções de massa de probabilidade na prática são a distribuição Binomial e a distribuição de Poisson.

Distribuição binomial

Se uma variável aleatória X segue uma distribuição binomial, então a probabilidade de X = k Os sucessos podem ser obtidos através da seguinte fórmula:

P(X=k) = _n C _k * pk * (1-p)n-k

onde:

• n: número de ensaios
• k: número de sucessos
• p: probabilidade de sucesso num determinado ensaio
• _n C _k : o número de formas de obter k sucessos em n ensaios

Por exemplo, se lançarmos uma moeda ao ar 3 vezes, podemos utilizar a fórmula acima para determinar a probabilidade de obter 0, 1, 2 e 3 caras durante esses 3 lançamentos:

• P(X=0) = ₃ C ₀ * .50 * (1-.5)3-0 = 1 * 1 * (.5)3 = 0.125
• P(X=1) = ₃ C ₁ * .51 * (1-.5)3-1 = 1 * 1 * (.5)2 = 0.375
• P(X=2) = ₃ C ₂ * .52 * (1-.5)3-2 = 1 * 1 * (.5)1 = 0.375
• P(X=3) = ₃ C ₃ * .53 * (1-.5)3-3 = 1 * 1 * (.5)0 = 0.125

Distribuição de Poisson

Se uma variável aleatória X segue uma distribuição de Poisson, então a probabilidade de X = k Os sucessos podem ser obtidos através da seguinte fórmula:

P(X=k) = λk * e- λ / k!

onde:

• λ: número médio de sucessos que ocorrem durante um intervalo específico
• k: número de sucessos
• e: uma constante igual a aproximadamente 2,71828

Por exemplo, suponhamos que um determinado hospital tem uma média de 2 nascimentos por hora. Podemos utilizar a fórmula acima para determinar a probabilidade de ter 0, 1, 2, 3 nascimentos, etc. numa determinada hora:

• P(X=0) = 20 * e- 2 / 0! = 0.1353
• P(X=1) = 2 1 * e - 2 / 1! = 0.2707
• P(X=2) = 2 2 * e - 2 / 2! = 0.2707
• P(X=3) = 2 3 * e - 2 / 3! = 0.1805

Visualização de um PMF

É frequente visualizarmos funções de massa de probabilidade com gráficos de barras.

Por exemplo, o gráfico de barras seguinte mostra as probabilidades associadas ao número de nascimentos por hora para a distribuição de Poisson descrita no exemplo anterior:

Note-se que o número de nascimentos poderia estender-se até ao infinito, mas as probabilidades tornam-se tão baixas depois de 10 que nem sequer as conseguimos ver num gráfico de barras.

Propriedades de um PMF

Uma função de massa de probabilidade tem as seguintes propriedades:

1. todas as probabilidades são positivas no apoio. Por exemplo, a probabilidade de um dado sair entre 1 e 6 é positiva, enquanto a probabilidade de todos os outros resultados é igual a zero.

2) Todos os resultados têm uma probabilidade entre 0 e 1. Por exemplo, a probabilidade de um dado sair entre 1 e 6 é de 1/6, ou seja, 0,1666666 para cada resultado.

3. a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Por exemplo, a soma das probabilidades de um dado calhar num determinado número é 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1.